Кривые

Кривая или линия — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.


В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» Евклида она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».
Алгебраические кривые изучаются в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами x, y, задаваемое множество решений уравнения f(x, y) = 0, где f — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле F.

Архимед

Архимед — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.

Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Он вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им «спирали Архимеда», определил объёмы сегментов шара, эллипсоида, параболоида и двуполостного гиперболоида вращения.


Даниил Бернулли

Даниил Бернулли - швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики.

Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений — его считают, наряду с Д’Аламбером и Эйлером, основателем математической физики. Физик-универсал, он основательно обогатил кинетическую теорию газов, гидродинамику и аэродинамику, теорию упругости и т. д.


Мари Энмон Камиль Жордан

Мари Энмон Камиль Жордан — французский математик, известный благодаря своим фундаментальным работам в теории групп и «Курсу анализа». Он родился в Лионе и учился в Политехнической школе. По образованию Жордан был инженером; позже он преподавал в Политехнической школе и Коллеж де Франс.

    Основные результаты Жордана:
  • - Теорема Жордана о кривой, топологический результат из комплексного анализа;
  • - Жорданова нормальная форма в линейной алгебре;
  • - В математическом анализе мера Жордана используется для построения интеграла Римана;
  • - В теории групп теорема Жордана — Гёльдера о композиционном ряде является одним из основных результатов.

  • Павел Самуилович Урысон

    Основные результаты полученные Урысоном были посвящены теории дифференциальных уравнений и нелинейным уравнениям в бесконечномерном пространстве. Урысон также доказал теорему из области выпуклой геометрии о том, что шар является телом максимального объёма при фиксированной средней ширине. Совместно с Александровым Урысон основал советскую топологическую школу. Он создал новое направление в топологии — теория размерности. Он доказал так называемые метризационные теоремы о топологических пространствах.


    Георг Кантор

    Немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно. Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая L, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество L', гомеоморфное L. Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

История

Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света, очертания цветов и листья растений, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия линии.



Однако потребовался большой исторический период прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой. Первые рисунки на стенах пещерного жилища, примитивные орнаменты, украшавшие домашнюю утварь, свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую от кривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находить удовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Но всё это было ещё далеко от того абстрактного понимания линии, которым располагает математика сейчас.
Правда, исторические памятники глубокой древности показывают, что у всех народов на известной ступени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямой линии. Употреблялись примитивные инструменты для построения этих линий и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью. Как видно, например, из древнейшего памятника математической культуры – «папируса Ринда», египтяне за 17 – 20 веков до начала нашей эры занимались квадратурой круга и получили довольно хорошее приближение для числа p, равное 3, 1604. Но лишь с возникновением математики как науки стало развиваться учение о линиях, достигшее в трудах греческих математиков высокого совершенства.

Греческие учёные создали теорию конических сечений – линий, имеющих особенно большое значение в науке и технике. Открытие их приписывается Менехму (4 век до н.э.), ученику Евдокса Книдского и, как полагают, учителю Александра Македонского. Менехм определял эти кривые как сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к его образующей.
Что послужило поводом к этому открытию? Может быть, поиски решения знаменитой делосской задачи об удвоении куба, может быть практический вопрос о том, насколько должен быть вытянут овал, находящийся в качестве архитектурного сооружения на фронтоне здания, чтобы с известного места перед зданием он казался кругом.



Есть данные полагать, что Менехм знал свойства параболы и гиперболы, выражаемые в наши дни равенствами y^2=2px и xy=c, и использовал эти свойства для делосской задачи удвоения куба. К сожалению это первое сочинение по теории конических сечений было утеряно. Также не дошла до нас работа греческого геометра Аристея, написавшего пять книг о пространственных местах»,из которых много заимствовал Евклид для своей также утраченной) работы о конических сечениях.
Архимед решил задачу о квадратуре сегмента параболы. Сравнивая фигуры, вписанные в эллипс и в окружность, построенную на большой оси эллипса как на диаметре, он определил и площадь эллипса.
Однако все сведения о конических сечениях были ещё разрозненны. Первая методическая обработка конических сечений принадлежит Аполлонию Пергскому (3 – 2 в. до н.э.). Это был трактат «О конических сечениях». В своём трактате Аполлоний систематизировал всё, что было известно до него, и открыл ряд важных свойств, установил их названия.
Но не только конические сечения открыты греками. Ряд математиков в поисках решения великих проблем древности – задачи о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга –использовал для образования кривых идею движения. Так возникли спираль Архимеда, циклоида, квадратрисса Динострата. В то же время первоначальный метод– образование кривых путём рассечения поверхности плоскостью был использован для образования кривых Персея как сечений тора.
В эпоху средневековья великие достижения греческих учёных были забыты.



К кривым математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии. 1637 год – одна из великих дат в истории математики – год появления книги Р. Декарта «Геометрия»,в которой были изложены основы метода координат. Открытие этого метода для исследования кривых было фактом первостепенного значения. Метод координат не только создал общий, единообразный способ символического задания каждой кривой в виде соответствующего ей уравнения, он давал также неограниченную возможность беспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, поскольку каждое произвольно записанное уравнение, связывающее между собой две переменные величины, представляло теперь, вообще говоря, новую кривую.
Открытие метода координат подготовило в свою очередь открытие могущественного метода науки – исчисления бесконечно малых. Рождение дифференциального и интегрального исчисления имело особо важное значение для изучения свойств кривых. В связи с многочисленными проблемами механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в 17 – 18 в., стимулировали интерес к исследованию инфинитезимальных свойств линий. Эти проблемы привели к открытию новых линий. Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определённым образом и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы. Ферма обобщает это предложение на алгебраические спирали высших порядков, устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков. Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически(парабола Нейля). К этому же времени относится спрямление логарифмической спирали, выполненное Торичелли, спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Де ла Гиром. Фаньяно в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лемнискаты, заложил основы теории эллиптических функций.
Наряду с исследованием геометрических свойств кривых исследуются и их механические свойства. Гюйгенс открывает изохронность циклоиды. И. Бернулли показывает, что циклоида является брахистохроной в пустом пространстве. Исследуются механические свойства параболы Нейля, цепной линии, овалов Кассини, овалов Декарта и целого ряда других теперь хорошо известных кривых.
Не только практические потребности века – запросы промышленности, конструирование машин и механизмов, постройка плотин и шлюзов – постоянный и глубокий интерес к исследованию кривых у этих учёных, но и та «радость созерцания формы», которая, по словам Клейна, характеризует истинного геометра.


Увлечение аналитическим методом исследования кривых, особенно характерное для 17 века, с течением времени вызвало реакцию со стороны некоторых учёных. Как недостаток этого метода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрывает естественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактически является не сама кривая, а соответствующее ей уравнение. Плодотворные попытки возвратиться к синтетическому методу древних породили новое направление в исследовании свойств кривых второго порядка. Первые достижения здесь связываются с именами Дезарга и Паскаля. Дезарг, исследуя проективные свойства фигур и используя установленное им понятие инволюции, обогатил теорию кривых второго порядка новыми открытиями. Пскаль открывает свою знаменитую теорему о соотношении между шестью точками конического сечения, согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Де ла Гир приходит к важному предложению о том, что директриса кривой второго порядка является полярой её фокуса.
Новые методы исследования свойств кривых второго порядка развиваются в 19 столетии. Брианшон доказывает теорему, двойственную теореме Паскаля, и изучает проективные свойства гиперболы. Понселе исследует кривые второго порядка с помощью открытого им метода проективных соответствий. Штейнер и Шаль исследуют проективные свойства этих кривых на основе понятия двойного отношения и рассматривают их как производные от образов первой ступени.
Критика аналитического метода исследования формы и свойств кривых была основана, как было уже сказано,на том обстоятельстве, что при пользовании этим методом отсутствует наглядный образ этой кривой и исчезают геометрические построения. Она дополнялась и другими соображениями. Указывалось, что система координат является посторонним элементом исследования, с которым кривая связывается искусственно.
Эти воззрения повели с одной стороны, к созданию так называемой алгебраической геометрии, основы которой были заложены Гессе и Клебшем. Исследование свойств кривых сводилось здесь к исследованию инвариантов алгебраических форм.
Крупнейшим достижением этого направления в исследовании кривых было создание общей теории алгебраических кривых. Особые достижения в развитии этой теории связываются с именем Плюккера. Однако в алгебраической геометрии полностью отрешиться от системы координат как постороннего элемента всё-таки не удалось. Другое направление привело к представлению о так называемом натуральном уравнении кривой.Натуральное уравнение уже не зависит от положения системы координат и от вида её; точнее говоря, оно не предполагает вообще наличия системы координат. Это уравнение функционально связывает радиус кривизны кривой и длину её дуги, т.е.те элементы, которые органически связаны с самой природой исследуемой линии.Было доказано, что натуральное уравнение полностью определяет кривую с точностью до её положения на плоскости. Наибольших успехов это направление исследования кривых достигло в работах Чезаро, который присвоил ему название внутренней или натуральной геометрии.

Кривые

Синусоида

Синусоида — плоская кривая, задаваемая в прямоугольных координатах уравнением.

Циклоида

Циклоида — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой.

Спираль Архимеда

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.


Трактриса

Трактриса (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Цепная линия

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Гиперболическая спираль

Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая.


Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Овал Кассини

Овал Кассини — кривая, являющаяся геометрическим местом точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа .

Астроида

Астроида — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем .


Нефроида

Нефроида — плоская алгебраическая кривая 6-го порядка, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся снаружи по большей в два раза окружности. Является частным случаем эпициклоиды при .

Кривая Жордана

Кривой Жордана называется образ непрерывного инъективного отображения (вложения) окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой или простой дугой. Известная теорема Жордана утверждает, что любая такая кривая делит плоскость на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.

Овал Декарта

Декартов овал – плоская кривая, которую можно определить как множество точек M, расстояния r1 и r2 от которой до двух данных точек, F1 и F2 (называемых фокусами), удовлетворяют линейному неоднородному уравнению r1 + mr2 = a, где m и а – постоянные числа. При m = 1 декартов овал превращается, очевидно, в эллипс, а при m = –1 – в гиперболу.

Точки

Точка излома

Точка излома или угловая точка — особая точка кривой, обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные. Является частным случаем особой точки (точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение, например, точка, в которой функция имеет разрыв или недифференцируема).

Касп

Касп или точка возврата — точка, в которой кривая линия разделяется на две (или более) ветви, имеющие в этой точке одинаковый направляющий вектор. То есть, ветви в данной точке имеют общую касательную и движение вдоль них из данной точки изначально происходит в одном и том же направлении.

Точка перегиба плоской кривой

Точка перегиба плоской кривой — это точка кривой, в которой её кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Двойная точка

Двойная точка — точка встречи двух ветвей кривой. Двойная точка принадлежит к числу так называемых особых точек, и в ней к кривой могут быть проведены две касательные, которые в частном случае могут совпадать.

Основные системы координат

Декартова система координат

Декартовой системой называют прямолинейную систему координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям)

Цилиндрическая система координат

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Полярная система координат

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.

Сферическая система координат

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат, где первая — кратчайшее расстояние до начала координат, а вторая и третья — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Галактическая система координат

Галактическая система координат — это система небесных координат, имеющая точку отсчёта наше Солнце, соотносимую с центром галактики Млечный Путь. Плоскость галактической системы координат совпадает с плоскостью галактического диска.

Практическая работа

В своей работе мы использовали программу построения кривых Grafikus.ru.


Работа 1

Мы решили исследовать кривые, которые называются розами. Их изучил Луиджи Гвидо Гранди в 1723-1728 годах. Розы Гранди представляют собой синусоидальные кривые, уравнения которых в полярных координатах записываются так: или . Мы задавали разное значение a , k в уравнении и наблюдали за построением кривой. Мы рассмотрели форму кривой, если k – целое число:

Мы пришли к следующим выводам:
1. Если k = 1, то роза будет иметь форму окружности.
2. Если k четное, то роза будет иметь 2k лепестков, а если k нечетное, то k лепестков.
3. Если k четное, то рисунок симметричен относительно вертикальной и горизонтальной прямых.
4. Если k нечетное, то рисунок симметричен относительно вертикальной прямой.

Работа 2

Мы решили рассмотреть форму кривой, если:
а). k - дробное число

б). k - иррациональное число

Мы пришли к выводу, что, если k иррациональное число, то роза занимает все пространство и имеет бесконечное число лепестков.

Работа 3

Мы рассмотрели построение кривых, которые используются в декоративных целях и очень похожи на объекты природы.

Применение кривых

Кривые в анализе рынка

Кривые используются при анализе социальных явлений. В некоторых случаях они задаются математическими уравнениями, что позволяет изобразить их на графике. В других случаях эти кривые строятся на основе эмпирических данных, де-факто. Кривые играют важную роль в изучении рынка, так как позволяют проверить истинность определенных предположений об уровне продаж того или иного товара.


Биржевые кривые

Большой вклад в изучение бирж внес Ральф Нельсон Эллиотт (1871-1948). Он изучил котировки множества ценных бумаг на Нью-Йоркской фондовой бирже и, проанализировав полученную эмпирическую кривую, сделал вывод: в колебаниях цен прослеживаются повторяющиеся шаблоны различной длительности и амплитуды. Волны Эллиотта позволяют объяснить, почему на рынках наблюдаются повторяющиеся ритмы, которые описываются периодическими кривыми. Уравнения этих кривых неизвестны, так как они строятся эмпирически. Тем не менее, так как форма кривых известна, аналитики могут делать некоторые прогнозы.


Рыночные кривые

Рынок существует столько же, сколько и само человечество, однако сегодня он стал чрезвычайно развитым и сложным механизмом. Товары могут производиться на расстоянии нескольких тысяч километров от места продажи. Кривая спроса представляет собой ветвь гиперболы, при этом на оси ординат откладываются цены, на оси абсцисс — соответствующие показатели спроса. Эта кривая иллюстрирует обратную пропорциональность (соотношение между величинами, при котором с ростом одной величины другая уменьшается). В этом случае, чем меньше рыночная цена товара, тем больше будет величина спроса.


Кривые ипотеки

Индекс EURIBOR, который используется для определения процентов по ипотеке в Европе, ежемесячно меняется. Можно изобразить кривую, которая будет описывать изменение этого индекса за определенный период времени. Кривая будет строиться эмпирически, то есть на основе данных о значении индекса EURIBOR за каждый месяц, собранных в течение длительного промежутка времени. Следовательно, не существует какого-то уравнения, которое описывало бы построенную кривую. Однако ее анализ позволяет оценить состояние мировых финансов за прошлые периоды и определить, какие события в обществе могли вызвать резкое изменение котировок.


Кривые нормального распределения (кривая Гаусса)

Эта кривая в форме колокола используется для решения множества задач статистики. Важность кривой нормального распределения заключается, прежде всего, в том, что многие переменные подчиняются нормальному закону, например явления природы, морфологические особенности людей (рост, вес, размер одежды), социологические срезы (уровень потребления товара группой людей), психологические особенности (коэффициент интеллекта) и многие другие.


Кривые в архитектуре

Кривые используются и в другий сферах нашей жизни, к примеру, в архитектуре. Многие древние и современные постройки имеют в оформлении кривые линии.


Башня «Санкт-Петербург Плаза»

Башня «Санкт-Петербург Плаза» имеет эллипс в основании и выпукло-вогнутую форму. 


Колизей

Колизей – одна из главных достопримечательностей Рима, имеет форму эллипса.


Башня в Саудовской Аравии

Это одно из самых высоких строений в Саудовской Аравии. Отверстие в верхней части выполнено в виде параболы.


Монумент в Сент-Луисе

Архитектурная цепная линия – 162-метровый монумент в Сент-Луисе.

Интересные факты

Лемниската Бернулли

Дизайнер Джоб Келевий разработал книжный шкаф Инфинити. Используя математическую концепцию Лемниската, он воплотил физическое представление о бесконечности

Эллипс

Эллипсы были широко известны еще в Древней Греции. Эта фигура называется "кривой садовника"", так как при посадке цветов садовники чертят на земле эллипсы с помощью веревки и двух палочек, воткнутых в землю, играющих роль фокусов эллипса (см рис.)

Авторы

Сайт создавали ученики 9 класса ГБОУ СОШ № 548:
- Змеев Алексей Александрович
- Иванов Александр Сергеевич

Руководители:
- Пивненко Ольга Алексеевна,
- Попович Виктория Вадимовна
учителя ГБОУ СОШ № 548

Список литературы

  1. Анисимов И. К. Конспекты лекций по начертательной геометрии. – Р. 1970.
  2. 1.Статья о кривых №1
  3. 2.Статья о кривых №2
  4. 3.Статья о кривых №3
  5. 4.Статья о кривых №4
  6. 5.Сайт поддержки Font Awesome
  7. 6.Материалы для создания сайта
  8. 7.Дизайн-журнал №1
Картинки взяты с сайтов: